Triangulating Smooth Submanifolds with Light Scaffolding

We propose an algorithm to sample and mesh a k-submanifold M of positive reach embedded in R. The algorithm first constructs a crude sample of M. It then refines the sample according to a prescribed parameter ε, and builds a mesh that approximates M. Differently from most algorithms that have been developped for meshing surfaces of R, the refinement phase does not rely on a subdivision of R (such as a grid or a triangulation of the sample points) since the size of such scaffoldings depends exponentially on the ambient dimension d. Instead, we only compute local stars consisting of k-dimensional simplices around each sample point. By refining the sample, we can ensure that all stars become coherent leading to a k-dimensional triangulated manifold M̂. The algorithm uses only simple numerical operations. We show that the size of the sample is O(ε−k) and that M̂ is a good triangulation of M. More specifically, we show that M and M̂ are isotopic, that their Hausdorff distance is O(ε) and that the maximum angle between their tangent bundles is O(ε). The asymptotic complexity of the algorithm is T (ε) = O(ε−k 2−k) (for fixed M, d and k). Key-words: Manifold triangulation, meshing, manifold learning, manifold sampling, computational geometry, computational topology This research has been partially supported by the Agence Nationale de la Recherche (project GAIA 07-BLAN-0328-04). in ria -0 06 04 00 4, v er si on 1 27 J un 2 01 1 Triangulation efficace de variétés lisses Résumé : On propose un algorithme pour échantillonner et mailler une sousvariété M de dimension k plongée dans R. Après avoir construit un échantillon grossier, l’algorithme raffine l’échantillon et le maillage selon un paramètre ε. L’algorithme ne construit pas de subdivision de R mais seulement des triangulations locales (stars) de dimension k autour de chaque point de l’échantillon. On montre qu’en raffinant l’échantillon, on peut rendre toutes les stars cohérentes et ainsi obtenir une variété triangulée M̂ qui approche M. L’algorithme n’utilise que des opérations numériques simples, la taille de l’échantillon produit est O(ε−k). On montre que M et M̂ ont le même type topologique, que leur distance de Hausdorff est O(ε) et que l’angle entre leurs espaces tangents est O(ε). La complexité asymptotique de l’algorithm est T (ε) = O(ε−k 2−k) (pour M, d k fixés). Mots-clés : Triangulation de variétés, génération de maillage, échantillonnage, géométrie algorithmique, topologie algorithmique in ria -0 06 04 00 4, v er si on 1 27 J un 2 01 1 Triangulating Smooth Submanifolds 3